Valor aproximado a una raíz por diferenciales

Cuando tenemos en cuenta que una raíz no es exacta, se debe calcular por medio de un método llamado "Diferenciales", para ello vamos a tener en cuenta la siguiente fórmula:

$$f(x\pm \Delta x)=f(x)\pm f\prime (x)dx$$

Para calcular el valor de una raíz por diferenciales tenemos 4 paso, son: 

• Encontrar una función aproximada.

• Encontrar $$xy∆x$$ 
• Calcular $$f^{\prime }(x)$$ 
• Calcular aproximadamente el valor buscado.

Ejemplo:

• Encontrar una función aproximada.

$$f(x)=\sqrt{x}$$

$$\sqrt{26}$$

Debemos tomar en cuenta nuestra raíz, buscando una raíz cuadrada perfecta anterior y posterior al numero que deseamos calcular. Tenemos:

$$\sqrt{25}=5$$

• Encontrar $$xy∆x$$

representamos : 

$$\sqrt{25}$$ como: $$\sqrt{25+1}$$ entonces sera $$xy∆x$$

• Calcular la derivada de:       $$f^{\prime }(x)$$    $$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$$

La derivada de f'(25) es:  $$f^{\prime }(25)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{25}}}={\displaystyle \frac{1}{2(5)}}=\frac{1}{10}$$

obteniendo todas las incógnitas procedemos a realizar la aproximación.

tenemos que usar la formula ya vista:  $$f(x\pm \Delta x)=f(x)\pm f\prime (x)dx$$

entonces reemplazamos:

$$\sqrt{26}\approx 5+\frac{1}{10}(26-25)$$

como resultado obtenemos: $$5+0.1(1)=5+0.1=5.1$$

Este seria nuestro valor aproximado utilizando el método de diferenciales. Pero si queremos realizarlo en calculadora obtendremos un valor casi similar.

$$\sqrt{26}=5.099$$