Integrales de funciones trigonométricas

Una integral es denominada trigonométricas cuando el integrando esta compuesto de funciones trigonométricas y constantes.

Se deben aplicar los siguientes puntos para resolver una integral por función trigonométricas:

• Usar una entidad trigonométrica y simplificar.
• Eliminar una raíz cuadrada.
• Reducir una fracción impropia
• Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción.
• Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicarlo por el integrando f(x) permita modificar [f(x)g(x)]/g(x)]
• Sustituir por f(x) por 1(1/f(x)).

Ejemplo: 

$$=\int sen^{4}x \, cos^{3}x\, dx$$

$$=\int sen^{4}\cdot  \, cos^{2}x\,\cdot cos x\, dx$$

Cambiar a su equivalente: 

$$=\int sen^{4}x\cdot (1-sen^{2}x)\cdot cos x\, dx$$

Sustitución : 

$$P= sen x \rightarrow \frac{dp}{dx}= cosx \rightarrow dp=cosx\,dx$$

Resolvemos: 

$$=\int sen^{4}x\cdot (1-sen^{2}x)\cdot cos\,x\, dx$$

$$=\int P^{4}\cdot (1-P^{2})\cdot dp$$

$$=\int (p^{4}-p^{6})dp$$

$$=\frac{p^{5}}{5}-\frac{p^{7}}{7}+C$$

$$=\frac{senx^{5}}{5}-\frac{senx^{7}}{7}+C$$

$$\frac{1}{5}\, sen^{5}x-\frac{1}{7}sen^{7}x+C$$