Sólidos de Revolución - Método Corteza Cilíndrica

 Este método se basa en utilizar anillos cilíndricos de poco grosor llamados cortezas.

Consideremos la región plana determinada por la gráfica de una función f(x), y las rectas x = a, x = b e y = c

El volumen del solido de revolución obtenido al girar dicha región alrededor de un eje vertical  x = x0 viene dado por:

$$V= 2\pi\int_{a}^{b}p(x)h(x)\,dx$$

Donde p(x) es la distancia de x al eje de revolución y  h(x) es la distancia entre c y f(x). Usualmente, el eje de revolución es el eje y y la región está junto al eje x, por lo que:

$$p(x) = x y h(x) = f(x)$$

Si consideramos la región plana determinada por la gráfica de una función f(y), y las rectas y = c, y = d y x = a, el volumen del solido de revolución obtenido al girar dicha región alrededor de un eje horizontal ´ y = y0 viene dado por:

$$V=2\pi\int_{c}^{d}p(y)h(y)\,dy$$

Donde p(y) es la distancia de y al eje de revolución y  h(y) es la distancia entre a y f(y). Cuando el eje de revolución es el eje  x y la región está junto al eje y, entonces p(y) = y y h(y) = f(y).

Ejemplo:

Encontrar el volumen del solido generado  al rotar sobre el eje "Y" la región limitada por las curvas  y= x^2,  y= √x en x=1 y x=3

Con fórmula: 

$$V=2\pi rh\Delta r$$

$$dV= 2\pi x(x^{2}-\sqrt{x})\,dx$$

$$dV=\int_{1}^{3}2\pi x(x^{2}-\sqrt{x})\,dx$$

$$v= 2\pi\int_{1}^{3}\left [ x(x^{2}-\sqrt{x}) \right ]\,dx$$

$$v= 2\pi\int_{1}^{3}(x^{3}-x^{\frac{3}{2}})\, dx$$

Usamos la fórmula de volumen: 

$$V= 2\pi\left ( \left | \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{^{\frac{5}{2}}}}{\frac{5}{2}} \right |_{1}^{3} \right )$$

Aplicamos el uso del teorema fundamental del calculo y obtenemos la respuesta:

$$V= \left ( \frac{204-36\sqrt{3}}{5} \right )\pi u^{3}$$