Sólidos de Revolución - Método Corteza Cilíndrica

 Este método se basa en utilizar anillos cilíndricos de poco grosor llamados cortezas.

Consideremos la región plana determinada por la gráfica de una función f(x), y las rectas x = a, x = b e y = c

El volumen del solido de revolución obtenido al girar dicha región alrededor de un eje vertical  x = x0 viene dado por:

$$V=2\pi {\int }_a^{b}p(x)h(x)dx$$

Donde p(x) es la distancia de x al eje de revolución y  h(x) es la distancia entre c y f(x). Usualmente, el eje de revolución es el eje y y la región está junto al eje x, por lo que:

$$p(x)=xyh(x)=f(x)$$

Si consideramos la región plana determinada por la gráfica de una función f(y), y las rectas y = c, y = d y x = a, el volumen del solido de revolución obtenido al girar dicha región alrededor de un eje horizontal ´ y = y0 viene dado por:

$$V=2\pi {\int }_c^{d}p(y)h(y)dy$$

Donde p(y) es la distancia de y al eje de revolución y  h(y) es la distancia entre a y f(y). Cuando el eje de revolución es el eje  x y la región está junto al eje y, entonces p(y) = y y h(y) = f(y).

Ejemplo:

Encontrar el volumen del solido generado  al rotar sobre el eje "Y" la región limitada por las curvas  y= x^2,  y= √x en x=1 y x=3

Con fórmula: 

$$V=2\pi rh\mathrm{\Delta }r$$

$$dV=2\pi x(x^2-\sqrt{x})dx$$

$$dV={\int }_1^{3}2\pi x(x^2-\sqrt{x})dx$$

$$v=2\pi {\int }_1^3[x(x^2-\sqrt{x})]dx$$

$$v=2\pi {\int }_1^3(x^3-x^{\frac{3}{2}})dx$$

Usamos la fórmula de volumen: 

$$V=2\pi \left({|\frac{x^4}{4}-\frac{x^{{}^{\frac{5}{2}}}}{\frac{5}{2}}|}_1^3\right)$$

Aplicamos el uso del teorema fundamental del calculo y obtenemos la respuesta:

$$V=\left(\frac{204-36\sqrt{3}}{5}\right)\pi u^3$$