Centro de Masa

By Nathan sani
El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometida a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo. Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas. Normalmente se abrevia como c.m. o G.

Momento del Área: 

Lo primordial para poder determinar el primer momento de área es saber que es, partiendo de esto se pude decir que en concreto el primer momento de área no es nada más que la distancia a la que se ubica una figura del origen o punto (0,0), los primeros momentos de área se determinan con respecto al eje X y respecto al eje Y, con respecto al eje X seria la distancia a la que se ubica una figura de dicho eje en dirección de Y y viceversa el primer momento de área con respecto al eje Y sería la distancia a la que se ubica la figura del eje Y con dirección en X.



  • Qy: Primer momento de área con respecto al eje Y. Qx: área con respecto a x.
  • A: área de la figura.
  • x:  Distancia entre el eje Y de la figura.
  • y: Distancia entre el X De la figura.

Para determinar la ubicación del centroide de la figura solo se tiene que dividir los primeros momentos del área entre el área total de la figura, en el caso de una figura compuesta será la suma de los primeros momentos del área entre la suma de las áreas de las figuras que forman la figura principal. Esta operación se debe hacer dos veces una con el primer momento del eje X o la suma de estos, para determinar la coordenada en x y otra con el primer momento en Y o la suma de estos, para determinar la coordenada en y.

Tablas de centroide: 









Ejemplo:



Tenemos las siguientes formulas: 

$$\bar{x}=\frac{\int_{A}\tilde{x}dA^{}}{\int_{A}dA^{}}$$
$$\bar{y}=\frac{\int_{A}\tilde{y}dA^{}}{\int_{A}dA^{}}$$

Resolvemos:

$$dA=d * \left | y \right |$$
$$\int_{0}^{1}dA=\int_{0}^{1}y\, dx$$
$$=\int_{0}^{1}x^{2}\, dx$$
$$= \left | \frac{x^{3}}{3} \right |_{0}^{1}= \frac{1}{3}$$

Resolvimos el área bajo la curva.

Ahora procedemos a resolver las coordenadas del centroide: 

$$\tilde{x}=\int_{0}^{1}\frac{\int_{0}^{1}xdA}{\frac{1}{3}}$$
$$\tilde{x}=\int_{0}^{1}\frac{\int_{0}^{1}xydx}{\frac{1}{3}}$$
$$\tilde{x}=\int_{0}^{1}\frac{\int_{0}^{1}x\cdot x^{2}\, dx}{\frac{1}{3}}$$
$$\tilde{x}=\frac{\left | \frac{\frac{x^{4}}{4}}{} \right |_{0}^{1}}{\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}= 0,75$$

Hemos obtenido el centroide del área bajo la curva con respecto a x.

Ahora vamos a encontrar coordenadas de y:

$$\tilde{x}=\int_{0}^{1}\frac{\int_{0}^{1}ydA}{\frac{1}{3}}$$
$$\tilde{y}=\frac{\int_{0}^{1}y/2dA}{\frac{1}{3}}$$
$$\tilde{y}=\frac{\int_{0}^{1}y\cdot ydx}{\frac{1}{3}}$$
$$\tilde{y}=\frac{\frac{1}{2}\int_{0}^{1}y^{2}dx}{\frac{1}{3}}$$
$$\tilde{y}=\frac{\frac{1}{2}\left ( \frac{x^{4+1}}{5} \right )_{0}^{1}}{\frac{1}{3}}$$
$$\tilde{y}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}}{\frac{1}{3}}$$
$$\tilde{y}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{10}$$
$$\tilde{y}=0,3$$


Listo hemos resuelto y obtenido valores para x , y: 

$$ x=0.75$$
$$y=0.3$$

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Integrales de funciones trigonométricas

By Nathan sani
Imagen
Una integral es denominada trigonométricas cuando el integrando esta compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Se deben aplicar los siguientes puntos para resolver una integral por función trigonométricas: Usar una entidad trigonométrica y simplificar. Eliminar una raíz cuadrada. Reducir una fracción impropia Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicarlo por el integrando f(x) permita modificar [f(x)g(x)]/g(x)] Sustituir por f(x) por 1(1/f(x)). Ejemplo:  $$=\int sen^{4}x \, cos^{3}x\, dx$$ $$=\int sen^{4}\cdot  \, cos^{2}x\,\cdot cos x\, dx$$ Cambiar a su equivalente:  $$=\int sen^{4}x\cdot (1-sen^{2}x)\cdot cos x\, dx$$ Sustitución :  $$P= sen x \rightarrow \frac{dp}{dx}= cosx \rightarrow dp=cosx\,dx$$ Resolvemos:  $$=\int sen^{4}x\cdot (1-sen^{2}x)\cdot cos\,x\, dx$$ $$=\int P^{4}\cdot (1-P^{2})\cdot dp$$ $$=\int (p^{4}-p^{6})dp$$ $$=\frac{p^{5}}{5}-\frac{p^{7}}{7}+
Leer más

Sólidos de Revolución - Método Corteza Cilíndrica

By Nathan sani
Imagen
 Este método se basa en utilizar anillos cilíndricos de poco grosor llamados cortezas. Consideremos la región plana determinada por la gráfica de una función f(x), y las rectas x = a, x = b e y = c El volumen del solido de revolución obtenido al girar dicha región alrededor de un eje vertical  x = x0 viene dado por: $$V= 2\pi\int_{a}^{b}p(x)h(x)\,dx$$ Donde p(x) es la distancia de x al eje de revolución y  h(x) es la distancia entre c y f(x). Usualmente, el eje de revolución es el eje y y la región está junto al eje x, por lo que: $$p(x) = x y h(x) = f(x)$$ Si consideramos la región plana determinada por la gráfica de una función f(y), y las rectas y = c, y = d y x = a, el volumen del solido de revolución obtenido al girar dicha región alrededor de un eje horizontal ´ y = y0 viene dado por: $$V=2\pi\int_{c}^{d}p(y)h(y)\,dy$$ Donde p(y) es la distancia de y al eje de revolución y  h(y) es la distancia entre a y f(y). Cuando el eje de revolución es el eje  x y la región está junto al eje
Leer más