Integrales Definidas - Propiedades de integrales Definidas

La integral definida es un caso de integral utilizada para determinar el valor  de áreas delimitadas por un grafico esto se da dentro de un intervalo y el eje horizontal. La integral definida la podemos ver en diferentes áreas como:

• Biología
• Robótica
• arquitectura 
• otras ciencias.

Definición de integral definida

Nos indican que: Dada la función  f(x) de una variable real  x y un intervalo como ya mencionamos anteriormente [a, b] de la recta real, la integral definida será igual al área limitada entre la grafica : f(x) y el eje de las abscisas, las líneas verticales en x= a y x = b

Podemos representar a la integral con la siguiente ecuación: 

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx$$

• El signo de integración es: $$\int$$

• a es el limite inferior.
• b es el limite superior.
• f(x) es el integrando.
• dx es el diferencial de x, indica cual es la variable de la función que va a ser integrada.

Propiedades de la Integral Definida

• El valor de la integral cambia el signo si se permutan los limites  de integración.

$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx =\int_{b}^{a} f(x)\, dx$$ 

$$\int_{4}^{1} x^{2} \, dx =\int_{1}^{4} x^{2}\,dx$$

• Si los limites de integración coinciden, la integral definida vale cero. 

$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx =0$$

$$\int_{2}^{2}x^{3}\, dx=0$$

• Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se puede descomponer como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx= \int_{a}^{c} f(x)\, dx +\int_{c}^{b} f(x)\,dx$$

$$\int_{3}^{10} x^{3}\, dx= \int_{3}^{7} x^{3}\, dx +\int_{7}^{10} x^{3}\,dx$$

• La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.

$$\int_{a}^{b}[f(x) + g(x)]\, dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx +\int_{a}^{b} g(x)\, dx$$

Para: 

$$f(x)= x^{2} \, g(x)= x^{3}$$

$$\int_{1}^{10}[x^{2} + x^{3}]\, dx = \int_{1}^{10}x^{2}\,dx +\int_{1}^{10} x^{3}\, dx$$

• La integral del producto de una constante k por una función es igual a la constante k multiplicada por la integral de la función.

$$\int_{a}^{b} k*f(x)\, dx= k*\int_{a}^{b} f(x)\,dx$$

Para la constante k=2:

$$\int_{1}^{7} 2*x^{5}\, dx= 3*\int_{1}^{7} x^{5}\,dx$$

Ejemplo: 

$$\int_{1}^{2}x^{2}\, dx$$

Resolvemos la integral: 

$$\int x^n{dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

Reemplazamos limites en la función: 

$$=\frac{x^{3}}{3}\prod_{2}^{1}$$

Resolvemos a través del teorema fundamental del cálculo: 

$$\frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}$$

$$\frac{{8}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$$