Integrales Definidas - Propiedades de integrales Definidas

La integral definida es un caso de integral utilizada para determinar el valor  de áreas delimitadas por un grafico esto se da dentro de un intervalo y el eje horizontal. La integral definida la podemos ver en diferentes áreas como:

• Biología
• Robótica
• arquitectura 
• otras ciencias.

Definición de integral definida

Nos indican que: Dada la función  f(x) de una variable real  x y un intervalo como ya mencionamos anteriormente [a, b] de la recta real, la integral definida será igual al área limitada entre la grafica : f(x) y el eje de las abscisas, las líneas verticales en x= a y x = b

Podemos representar a la integral con la siguiente ecuación: 

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

• El signo de integración es: $$\int$$

• a es el limite inferior.
• b es el limite superior.
• f(x) es el integrando.
• dx es el diferencial de x, indica cual es la variable de la función que va a ser integrada.

Propiedades de la Integral Definida

• El valor de la integral cambia el signo si se permutan los limites  de integración.

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_b^{a}f(x)dx$$ 

$${\int }_4^1{x}^{2}dx={\int }_1^4{x}^{2}dx$$

• Si los limites de integración coinciden, la integral definida vale cero. 

$${\int }_a^{b}f(x)dx=0$$

$${\int }_2^2{x}^{3}dx=0$$

• Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se puede descomponer como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

$${\int }_3^{10}{x}^{3}dx={\int }_3^7{x}^{3}dx+{\int }_7^{10}{x}^{3}dx$$

• La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.

$${\int }_a^b[f(x)+g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$$

Para: 

$$f(x)=x^{2}g(x)=x^3$$

$${\int }_1^{10}[x^2+x^3]dx={\int }_1^{10}{x}^{2}dx+{\int }_1^{10}{x}^{3}dx$$

• La integral del producto de una constante k por una función es igual a la constante k multiplicada por la integral de la función.

$${\int }_a^{b}k\ast f(x)dx=k\ast {\int }_a^{b}f(x)dx$$

Para la constante k=2:

$${\int }_1^{7}2\ast x^{5}dx=3\ast {\int }_1^7{x}^{5}dx$$

Ejemplo: 

$${\int }_1^2{x}^{2}dx$$

Resolvemos la integral: 

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

Reemplazamos limites en la función: 

$$=\frac{x^3}{3}\prod _2^1$$

Resolvemos a través del teorema fundamental del cálculo: 

$$\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}$$

$$\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$$