Integrales Definidas En Áreas de Curvas Polares

 Las coordenadas polares o  sistema de coordenadas polares es un sistema bidimensional, que en cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo.

En un sistema de referencia se toma: (a) a un punto O del plano, este es llamado origen o polo y b una recta dirigida (rayo o segmento OL) que pasa por O, llamado eje polar equivalente al eje x del sistema cartesiano. 

Curvas Polares - Aplicada al cálculo integral

Las curvas polares son utilizadas para graficar curvas especiales, estas curvas se encuentran en la vida cotidiana, es por ello que se son muy importantes. La grafica de una curva polar esta determinada por  r= f(0) o de manera general como: F(r, θ)= 0, aquello consiste de todo punto P que tienen una representación polar (r, θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. 

Ejemplo: 

Calcular el área encerrada por la curva r= cos (2, θ); 0  ≤ θ ≤ 2π

Formula de áreas polares:

$$r= f(\Theta)$$

$$a\leq \Theta \leq b$$

$$A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left [ r(\Theta) \right ]^{2}d\Theta $$

Aplicamos la formula y resolvemos:

$$A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }\left [ cos(2\Theta) \right ]^{2}d\Theta $$

$$A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }\left [ cos(2\Theta) \right ]^{2}d\Theta= \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}cos^{2}(2\Theta)d\Theta $$

$$A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }\left [ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\, cos(4\Theta )\right ]d\Theta$$

$$\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}d\Theta +\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}cos(4\Theta )d\Theta $$

$$A=\frac{1}{4}\Theta \left |_{0}^{2\pi}+\frac{1}{4}(\frac{1}{4}sen(4\Theta ))\right |_{0}^{2\pi}=\frac{1}{4}(2\pi-0)+\frac{1}{16}(sen(8\pi)-sen(0))=\frac{\pi}{2}$$

Tipos de curvas polares