Longitud de arco

La longitud de arco es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.

Si se tiene una función f(x) derivable en un intervalo [a, b], entonces podemos medir la longitud de la gráfica en este intervalo. Esta longitud se conoce como la longitud del arco de la curva f(x).

Para encontrar la longitud del arco empleamos la siguiente formula:

$$L= \int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'x]^{2}}\, dx$$

Si la curva está definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como x=f(t) e y=g(t), a la longitud del arco desde el punto (f(a),g(a)) hasta el punto (f(b),g(b)), es dada por:

$$L=\int \sqrt{[f'(t)]^{2}+[g'(t)]^{2}}\,dt$$

Ejemplo:

Determinar la longitud de arco de la parábola dada como: y^2= x^3 entre los puntos (1,1)  y (4,8) . 

Tenemos que: 

$$y^{2}=x^{3}\Rightarrow y=x^{\frac{3}{2}}$$

Derivando esta función obtendremos: 

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$$

Luego usamos la relación (1), calculamos la longitud: 

$$L= \int_{1}^{4}\sqrt{1+\left ( \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \right )^{2}}\, dx$$

Integramos mediante el método del cambio de variable o sustitución:

$$\int_{\frac{13}{4}}^{10}\frac{4}{9}\sqrt{udu}=\frac{4}{9}\frac{2}{3}\left | \left [ u^{\frac{2}{3}} \right ] \right |_{10}^{\frac{13}{4}}=\frac{8}{27}\left [ 10^{\frac{3}{2}}-\left ( \frac{13}{4} \right )^{\frac{3}{2}} \right ]=\frac{1}{27}(80\sqrt{10}-13\sqrt{13})$$