Sólidos De Revolución - Método de disco

Un sólido de revolución es una figura geométrica que puede formar haciendo girar una superficie plana en torno a una recta a la que es denominada eje. Un sólido de revolución puede cambiar de forma, incluso pueden ser irregulares.

Los sólidos de revolución están divididos en:

• Cono: Se genera al girar un triangulo rectángulo alrededor de sus catetos.
• Cilindro: Se forma al girar un rectángulo alrededor del eje.
• Esfera: Se obtiene al hacer girar una semicircunferencia  en torno a un eje.
• Toroide: Se forma a partir  de hacer girar un polígono o una curva alrededor del eje.

Método de disco

Para hallar el volumen de un sólido de revolución dividimos el sólido en rectángulos cuyo eje de revolución es el eje de x. La revolución de un rectángulo da lugar a un disco, por lo tanto este método divide al sólido en discos de ancho x , el ancho de cada rectángulo. Calculamos el área de cada disco ( región plana circular) con la fórmula de área de un círculo. Para calcular el volumen multiplicamos el área de la región circular por el ancho del rectángulo ( x ) que lo forma.

Fórmula de un solido de revolución obtenido al girar la región R sobre el eje x: 

$$V=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^{2}\, dx=\pi \int_{a}^{b}y^{2}\, dx$$

Fórmula de un sólido de revolución cuando el eje de rotación es y, y la región que gira entre el eje y, y una curva x=g(y) entre y= c y  y=d esta dado por: 

$$V=\pi\int_{c}^{d}(g(y))^{2}\, dy=\pi \int_{a}^{b}x^{2}\, dx$$

Ejemplo: 

Hallar el el volumen del sólido que resulta de girar, alrededor del eje x la región limitada por la curva:  

$$y=\sqrt{x}$$

y las rectas  y= 0 y x=4

$$dV=\pi R^{2}h$$

$$dV=\pi(\sqrt{x})^{2}\cdot \,dx$$

$$dV=\pi x\,dx$$

$$\int dV=\int_{0}^{4}\pi x \,dx$$

$$V=\pi\int_{0}^{4} x\, dx$$

Resolvemos la integral con el teorema fundamental del calculo: 

$$V=\pi\cdot \left \{ \left | \frac{x^{2}}{2} \right |_{0}^{4} \right \}$$

$$V=\pi\cdot \left \{ \frac{4^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2} \right \}$$

$$V= 8\pi u^{3}$$