Integración por sustitución o cambio de variable

By Nathan sani

 El método se sustitución o cambio de variable es la derivación de la función compuesta.

  • Escoger un cambio de variable z =  función de x.
  • Despejar x para calcular dx.
  • Sustituir en la integral, resolverla y deshacer el cambio de variable.
El método de sustitución tiene una dificultad el cual nos indica que se debe escoger un cambio útil, caso contrario la integral resultante puede obtener mayor dificultad.

Tabla de cambios de variables en integrales más comunes. 


El método de sustitución también nos indica que es un poco mas complejo en integrales definidas, debido a que si se cambias las variables, también se debe actualizar los puntos de integración.


Ejemplo - Ejercicio 1: 

Pasos a seguir para resolver una integral por método de sustitución: 

  • Elegir una expresión para u.
  • Calcular du.
  • Reemplazar todo por u. 
  • Calcular la integral.
  • Reemplazar todo nuevamente.

$$\int \frac{2x-1}{x^{2}-x+3}\,dx$$

Buscar la sustitución: 

u = $$x^{2}-x+3$$

Encontrar a derivada de u:

 $$x^{2}-x+3$$
$$(2x-1)\, dx$$

Realizar la sustitución: 

$$=\int \frac{du}{u}$$

Hallar la integral: 

$$=ln\left | u \right |+c$$

$$=ln\left | x^{2}-x+3 \right |+c$$

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