Integración por fracciones parciales

Las fracciones parciales es un método de integración  que nos va a permitir resolver integrales de ciertas funciones racionales que no pueden resueltas por otros métodos ya sea (formula directa, por partes o cambio de variable, también nos ayuda a obtener sumas de expresiones mas simples.

Para las fracciones parciales existen cuatros casos: 

• Descomposición en fracciones parciales cuando los denominadores son lineales.
• Descomposición en fracciones parciales cuando hay un factor lineal repetido. 
• Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.
• Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático repetido.

Ejemplo: 

Términos lineales que no se repiten.

$$\frac{4x^{2}+13x-9}{x^{3}+2x^{2}-3x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-1}$$

Obtenemos el mínimo común denominador, lo operamos e igualamos al numerador.

$$4x^{2}+13x-9=A(x+3)(x-1)+B(x)(x-1)+C(x)(x+3)$$

Igualamos a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial.

x = 0  ;  x+3= 0 ; x = -3; x -1 = 0;    x =1

Sustituimos los valores de x: 

x = 0

$$4x^{2}+13x-9=A(x+3)(x-1)+B(x)(x-1)+C(x)(x+3)$$

$$4(x)^{2}+13(0)-9=A(0+3)(0-1)+B(0)(0-1)+C(0)(0+3)$$

$$0+0-9=A(3)(-1)+0B+0C$$

$$-9=-3A$$

$$3=A$$

x = -3 

$$4x^{2}+13x-9=A(x+3)(x-1)+B(x)(x-1)+C(x)(x+3)$$

$$4(-3)^{2}+13(-3)-9=A(-3+3)(-3-1)+B(-3)(-3-1)+C(-3)(-3+3)$$

$$36-39-9=A(0)(-4)+B(-3)(-4)+C(-3)(0)$$

$$-12=12B$$

$$-1=B$$

x = 1

$$4x^{2}+13x-9=A(x+3)(x-1)+B(x)(x-1)+C(x)(x+3)$$

$$4(1)^{2}+13(1)-9=A(1+3)(1-1)+B(1)(1-1)+C(1)(1+3)$$

$$4+13-9=A(4)(0)+B(1)(0)+C(1)(4)$$

$$8=4C$$

$$2=C$$

Listo hemos resuelto por medio de fracciones parciales, esta es la respuesta: 

$$\frac{4x^{2}+13x-9}{x^{3}+2x^{2}-3x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+3}\frac{C}{x-1}=\frac{3}{x}-\frac{1}{x+3}+\frac{2}{x-1}$$