Trabajo

By Nathan sani

El trabajo se define como el producto de una fuerza y el desplazamiento. La fuerza y el desplazamiento son cantidades vectoriales y por lo tanto, tienen dirección y magnitud. El trabajo se calcula usando los componentes de fuerza y desplazamiento que están en la misma dirección. El producto de estos dos componentes de cantidades vectoriales entrega el trabajo realizado por la fuerza en la dirección que se desplaza. Se denota como: 

$$W= Fd$$



Donde F es la fuerza y d  es el desplazamiento, ambos en la misma dirección. Si la fuerza se mide en Newtons y la distancia en metros, entonces el trabajo se mide en unidades de energía que son los joules (J). Fórmula en del trabajo aplicado a cálculo integral: 


$$W= lim_{\Delta x\rightarrow 0\sum _{i}^{n}F(x_{i}\Delta x)=\int_{a}^{b}F(x)\, dx}$$

$$\Delta W= F(x)\Delta x$$

$$W=\int_{a}^{b}F(x)dx$$


Ejemplo: 

Se requiere una fuerza de 10 Newtons para estirar un resorte de 20 cm. a una longitud de 26 cm. Encuentra el trabajo realizado para estirar el resorte desde una longitud de 24 cm. a una de 28 cm.

Para llegar a la solución indicamos que: 

La Ley de Hooke  establece que cuando se estira un resorte x unidades más allá de su longitud natural, tira hacia sí con una fuerza F(x)= kx , donde k es la constante del resorte  o la constante de  rigidez.  El trabajo que se requiere para estirar el resorte una longitud  x es: 

$$W= \int_{a}^{b}F(x)\, dx$$

donde a es el desplazamiento inicial del resorte (a=0)  si el resorte no está estirado inicialmente) y b  es el desplazamiento final.


Necesitamos determinar k, o en otras palabras la constante del resorte: 

$$F(x)=kx$$

$$10=k(6)$$

$$k=\frac{5}{3}N/m$$


Ahora si podemos calcular el trabajo para desplazar el resorte  desde 24cm hasta los 28cm: 

$$W=\int_{a}^{b}F(x)dx$$

$$=\int_{24}^{28}\frac{5}{3}x\, dx$$

$$=\frac{5}{3}\left [ \frac{x^{2}}{2} \right ]_{24}^{28}$$

$$=\frac{5}{3}\left [ \frac{{784}}{2}-\frac{576}{2} \right ]$$

$$W=173.3J$$

El trabajo que se requiere es: 173.3 J

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