Integración por partes

By Nathan sani

 El método de integración por partes se utiliza para obtener la integral de 2 funciones que pueden ser escritas como: 

$$u\cdot \frac{dv}{dx}$$

esto resulta mas facil al encontrar la integral de: 

$$\frac{du}{dx}\cdot v$$

Debemos saber como aplicar la integracion por partes para ello se deben seleccionar  las funciones u y v.

Pasos: 

Elegir 

$$\frac{dv}{dx}$$

 u(x) de manera que: 

  • Sea inmediato encontrar v(x)= $$\int \frac{dv}{dx}\, dx$$
  • La nueva integral sea fácil obtener:  $$\int v\, \frac{du}{dx}\,dx$$

Las integrales por partes pueden ser: 
  • Inversas.
  • Logarítmicas.
  • Algebraicas.
  • Trigonométricas
  • Exponenciales.
Las integrales inversas, logarítmicas, algebraicas se eligen como u, mientras que las otras son elegidas como v'.

Ejemplo:

$$\int x\cdot e^{8x}\,dx$$


Conviene describir esta función como u-v' para u(x)= x y v'(x)= e^8x, ya que fácilmente podemos encontrar una integral indefinida  de v'(x)=e^8x:  

$$v(x)=\frac{e^{8x}}{8}$$


$$\int v(x){u}'(x)\, dx= \int \frac{e^{8x}}{8}\, dx= \frac{e^{8x}}{64}$$

Finalmente se sustituye en: 

$$\int u(x){v}'(x)\, dx=u(x)v(x)-\int {u}'(x)v(x)\, dx$$

$$\int x\cdot e^{8x}\, dx= x\cdot \frac{e^{8x}}{8}-\frac{e^{8x}}{64}$$

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