Integración por partes

 El método de integración por partes se utiliza para obtener la integral de 2 funciones que pueden ser escritas como: 

$$u\cdot \frac{dv}{dx}$$

esto resulta mas facil al encontrar la integral de: 

$$\frac{du}{dx}\cdot v$$

Debemos saber como aplicar la integracion por partes para ello se deben seleccionar  las funciones u y v.

Pasos: 

Elegir 

$$\frac{dv}{dx}$$

 u(x) de manera que: 

• Sea inmediato encontrar v(x)= $$\int \frac{dv}{dx}dx$$
• La nueva integral sea fácil obtener:  $$\int v\frac{du}{dx}dx$$

Las integrales por partes pueden ser: 

• Inversas.
• Logarítmicas.
• Algebraicas.
• Trigonométricas
• Exponenciales.

Las integrales inversas, logarítmicas, algebraicas se eligen como u, mientras que las otras son elegidas como v'.

Ejemplo:

$$\int x\cdot e^{8x}dx$$

Conviene describir esta función como u-v' para u(x)= x y v'(x)= e^8x, ya que fácilmente podemos encontrar una integral indefinida  de v'(x)=e^8x:  

$$v(x)=\frac{e^{8x}}{8}$$

$$\int v(x)u^{\prime }(x)dx=\int \frac{e^{8x}}{8}dx=\frac{e^{8x}}{64}$$

Finalmente se sustituye en: 

$$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)dx$$

$$\int x\cdot e^{8x}dx=x\cdot \frac{e^{8x}}{8}-\frac{e^{8x}}{64}$$