Calculo Integral

El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometida a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo. Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas. Normalmente se abrevia como c.m. o G. Momento del Área:  Lo primordial para poder determinar el primer momento de área es saber que es, partiendo de esto se pude decir que en concreto el primer momento de área no es nada más que la distancia a la que se ubica una figura del origen o punto (0,0), los primeros momentos de área se determinan con respecto al eje X y respecto al eje Y, con respecto al eje X seria la distancia a la que se ubica una figura de dicho eje en dirección de Y y viceversa el

La longitud de arco es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Si se tiene una función f(x) derivable en un intervalo [a, b], entonces podemos medir la longitud de la gráfica en este intervalo. Esta longitud se conoce como la longitud del arco de la curva f(x). Para encontrar la longitud del arco empleamos la siguiente formula: $$L= \int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'x]^{2}}\, dx$$ Si la curva está definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como x=f(t) e y=g(t), a la longitud del arco desde el punto (f(a),g(a)) hasta el punto (f(b),g(b)), es dada por: $$L=\int \sqrt{[f'(t)]^{2}+[g'(t)]^{2}}\,dt$$ Ejemplo: Determinar la longitud de arco de la parábola dada como: y^2= x^3 entre los puntos (1,1)  y (4,8) .   Tenemos que:  $$y^{2}=x^{3}\Rightarrow y=x^{\frac{3}{2}}$$ Derivando esta función obtendremos:  $$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$$ Luego usamos la relación (1), calculamos la longitud:  $$L= \int_{1}^{4

El trabajo se define como el producto de una fuerza y el desplazamiento. La fuerza y el desplazamiento son cantidades vectoriales y por lo tanto, tienen dirección y magnitud. El trabajo se calcula usando los componentes de fuerza y desplazamiento que están en la misma dirección. El producto de estos dos componentes de cantidades vectoriales entrega el trabajo realizado por la fuerza en la dirección que se desplaza. Se denota como:  $$W= Fd$$ Donde F es la fuerza y d  es el desplazamiento, ambos en la misma dirección. Si la fuerza se mide en Newtons y la distancia en metros, entonces el trabajo se mide en unidades de energía que son los joules (J). Fórmula en del trabajo aplicado a cálculo integral:  $$W= lim_{\Delta x\rightarrow 0\sum _{i}^{n}F(x_{i}\Delta x)=\int_{a}^{b}F(x)\, dx}$$ $$\Delta W= F(x)\Delta x$$ $$W=\int_{a}^{b}F(x)dx$$ Ejemplo:  Se requiere una fuerza de 10 Newtons para estirar un resorte de 20 cm. a una longitud de 26 cm. Encuentra el trabajo realizado para estirar el

 Este método se basa en utilizar anillos cilíndricos de poco grosor llamados cortezas. Consideremos la región plana determinada por la gráfica de una función f(x), y las rectas x = a, x = b e y = c El volumen del solido de revolución obtenido al girar dicha región alrededor de un eje vertical  x = x0 viene dado por: $$V= 2\pi\int_{a}^{b}p(x)h(x)\,dx$$ Donde p(x) es la distancia de x al eje de revolución y  h(x) es la distancia entre c y f(x). Usualmente, el eje de revolución es el eje y y la región está junto al eje x, por lo que: $$p(x) = x y h(x) = f(x)$$ Si consideramos la región plana determinada por la gráfica de una función f(y), y las rectas y = c, y = d y x = a, el volumen del solido de revolución obtenido al girar dicha región alrededor de un eje horizontal ´ y = y0 viene dado por: $$V=2\pi\int_{c}^{d}p(y)h(y)\,dy$$ Donde p(y) es la distancia de y al eje de revolución y  h(y) es la distancia entre a y f(y). Cuando el eje de revolución es el eje  x y la región está junto al eje

Un sólido de revolución es una figura geométrica que puede formar haciendo girar una superficie plana en torno a una recta a la que es denominada eje. Un sólido de revolución puede cambiar de forma, incluso pueden ser irregulares. Los sólidos de revolución están divididos en: Cono:  Se genera al girar un triangulo rectángulo alrededor de sus catetos. Cilindro: Se forma al girar un rectángulo alrededor del eje. Esfera: Se obtiene al hacer girar una semicircunferencia  en torno a un eje. Toroide: Se forma a partir  de hacer girar un polígono o una curva alrededor del eje. Método  de disco Para hallar el volumen de un sólido de revolución dividimos el sólido en rectángulos cuyo eje de revolución es el eje de x. La revolución de un rectángulo da lugar a un disco, por lo tanto este método divide al sólido en discos de ancho x , el ancho de cada rectángulo. Calculamos el área de cada disco ( región plana circular) con la fórmula de área de un círculo. Para calcular el volumen multiplicamos e

 Las coordenadas polares o  sistema de coordenadas polares es un sistema bidimensional, que en cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. En un sistema de referencia se toma: (a) a un punto O del plano, este es llamado origen o polo y b una recta dirigida (rayo o segmento OL) que pasa por O, llamado eje polar equivalente al eje x del sistema cartesiano.  Curvas Polares - Aplicada al cálculo integral Las curvas polares son utilizadas para graficar curvas especiales, estas curvas se encuentran en la vida cotidiana, es por ello que se son muy importantes. La grafica de una curva polar esta determinada por  r= f(0) o de manera general como: F(r, θ)= 0, aquello consiste de todo punto P que tienen una representación polar (r, θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.  Ejemplo:  Calcular el área encerrada por la curva r= cos (2, θ); 0   ≤  θ  ≤ 2 π Formula de áreas polares: $$r= f(\Theta)$$ $$ a\leq \Theta \leq b$$ $$A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left [ r(\Theta) \right ]

Las fracciones parciales es un método de integración  que nos va a permitir resolver integrales de ciertas funciones racionales que no pueden resueltas por otros métodos ya sea (formula directa, por partes o cambio de variable, también nos ayuda a obtener sumas de expresiones mas simples. Para las fracciones parciales existen cuatros casos:  Descomposición en fracciones parciales cuando los denominadores son lineales. Descomposición en fracciones parciales cuando hay un factor lineal repetido.  Descomposición  en fracciones parciales con un factor  cuadrático  irreducible. Descomposición  en fracciones parciales con un factor  cuadrático  repetido. Ejemplo:  Términos  lineales que no se repiten. $$\frac{4x^{2}+13x-9}{x^{3}+2x^{2}-3x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-1}$$ Obtenemos el mínimo común denominador, lo operamos e igualamos al numerador. $$4x^{2}+13x-9=A(x+3)(x-1)+B(x)(x-1)+C(x)(x+3)$$ Igualamos a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial. x = 0 

Una integral es denominada trigonométricas cuando el integrando esta compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Se deben aplicar los siguientes puntos para resolver una integral por función trigonométricas: Usar una entidad trigonométrica y simplificar. Eliminar una raíz cuadrada. Reducir una fracción impropia Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicarlo por el integrando f(x) permita modificar [f(x)g(x)]/g(x)] Sustituir por f(x) por 1(1/f(x)). Ejemplo:  $$=\int sen^{4}x \, cos^{3}x\, dx$$ $$=\int sen^{4}\cdot  \, cos^{2}x\,\cdot cos x\, dx$$ Cambiar a su equivalente:  $$=\int sen^{4}x\cdot (1-sen^{2}x)\cdot cos x\, dx$$ Sustitución :  $$P= sen x \rightarrow \frac{dp}{dx}= cosx \rightarrow dp=cosx\,dx$$ Resolvemos:  $$=\int sen^{4}x\cdot (1-sen^{2}x)\cdot cos\,x\, dx$$ $$=\int P^{4}\cdot (1-P^{2})\cdot dp$$ $$=\int (p^{4}-p^{6})dp$$ $$=\frac{p^{5}}{5}-\frac{p^{7}}{7}+

 El método de integración por partes se utiliza para obtener la integral de 2 funciones que pueden ser escritas como:  $$u\cdot \frac{dv}{dx}$$ esto resulta mas facil al encontrar la integral de:  $$\frac{du}{dx}\cdot v$$ Debemos saber como aplicar la integracion por partes para ello se deben seleccionar  las funciones u y v. Pasos:  Elegir  $$\frac{dv}{dx}$$  u(x) de manera que:  Sea inmediato encontrar v(x)= $$\int \frac{dv}{dx}\, dx$$ La nueva integral sea fácil obtener:  $$\int v\, \frac{du}{dx}\,dx$$ Las integrales por partes pueden ser:  Inversas. Logarítmicas. Algebraicas. Trigonométricas Exponenciales. Las integrales inversas, logarítmicas, algebraicas se eligen como u, mientras que las otras son elegidas como v'. Ejemplo: $$\int x\cdot e^{8x}\,dx$$ Conviene describir esta función como u-v' para u(x)= x y v'(x)= e^8x, ya que fácilmente podemos encontrar una integral indefinida  de v'(x)= e^8x:    $$v(x)=\frac{e^{8x}}{8}$$ $$\int v(x){u}'(x)\, dx= \int \frac{

 El método se sustitución o cambio de variable es la derivación de la función compuesta. Escoger un cambio de variable z =  función de x. Despejar x para calcular dx. Sustituir en la integral, resolverla y deshacer el cambio de variable. El método de sustitución tiene una dificultad el cual nos indica que se debe escoger un cambio útil, caso contrario la integral resultante puede obtener mayor dificultad. Tabla de cambios de variables en integrales más comunes.  El método de sustitución también nos indica que es un poco mas complejo en integrales definidas, debido a que si se cambias las variables, también se debe actualizar los puntos de integración. Ejemplo - Ejercicio 1:  Pasos a seguir para resolver una integral por método de sustitución:  Elegir una expresión para u. Calcular du. Reemplazar todo por u.  Calcular la integral. Reemplazar todo nuevamente. $$\int \frac{2x-1}{x^{2}-x+3}\,dx$$ Buscar la sustitución:  u = $$x^{2}-x+3$$ Encontrar a derivada de u:  $$x^{2}-x+3$$ $$(2x-1)\,

El teorema fundamental del Cálculo nos proporciona un método más rápido para calcular integrales definidas, sin la necesidad  de tener que calcular los limites de la " SUMA DE RIEMANN " Nos indica que la que la derivada de la integral F(x) de la función continua  f(x) es la propia de f (x). f ' (x) = f(x) La derivación y la integración son operaciones inversas, al integrar una función continua y luego derivarla nos dará como resultado la función original. Teorema fundamental del cálculo Sea f una función integrable  en el intervalo: [ a, b] mencionamos los siguientes puntos. F será continua en  [a, b]  En todo punto de "c"  de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto, Y F' (c)= f(c). Regla de Barrow La regla de Barrow nos indica que la integral definida de una función continua como f(x) en un intervalo cerrado [a, b] será igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva  G(x)  de f (x), en los extrem

La integral definida es un caso de integral utilizada para determinar el valor  de áreas delimitadas por un grafico esto se da dentro de un intervalo y el eje horizontal. La integral definida la podemos ver en diferentes áreas como: Biología Robótica arquitectura  otras ciencias. Definición de integral definida Nos indican que: Dada la función  f(x) de una variable real  x y un intervalo como ya mencionamos anteriormente [a, b] de la recta real, la integral definida será igual al área limitada entre la grafica : f(x) y el eje de las abscisas, las líneas verticales en x= a y x = b Podemos representar a la integral con la siguiente ecuación:  $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx$$ El signo de integración es: $$\int$$ a es el limite inferior. b es el limite superior. f(x) es el integrando. dx es el diferencial de x, indica cual es la variable de la función  que va a ser integrada. Propiedades de la Integral Definida El valor de la integral cambia el signo si se permutan los limites  de integración. $$

Las integrales inmediatas o también llamadas "directas" son aquellas integrales que no requieren utilizar ningún método de integración por el simple hecho de ser sencillas. por ejemplo  la integral de 2x es x^2  + C como ya conocemos C o   K es la constante de "Integración". La integral es una función multiplicada por su derivada:  $$\int f(x)*f'(x)\, dx= f(x) +K$$   tabla de integración inmediata: Ejemplo:  tenemos nuestra integral: $$\int \frac{x^{2}{+1}}{x^{5}}\,dx$$ Luego de tener nuestra integral procedemos a separar en integrales mas sencillas como:  $$\int \frac{x^{2}{+1}}{x^{5}}\,dx=\int \frac{x^{2}}{x^{5}}+\frac{1}{x^{5}}\,dx$$ Después podemos simplificar varios factores:  $$\int \frac{x^{2}{+1}}{x^{5}}\,dx=\int \frac{x^{2}}{x^{5}}+\frac{1}{x^{5}}\,dx=\int \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{5}}$$ seguimos resolviendo:  $$\int x^{-3}+x^{5}\,dx = \int x^{-3}\,dx +\int x^{-5} \,dx $$ para seguir resolviendo debemos utilizar la siguiente fórmula:  $$\int x^{a}\,dx

 Una integral indefinida es el conjunto de infinitas infinitas primitivas que tienen una función:  Se representa por:  $$\int f(x)\, dx$$ Se lee: integral  f de x diferencial de x El signo de integración es: $$\int$$ f(x) es el integrando o la función a integrar. dx es diferencial de x, indica cual es la variable de la función que se integra. C o K es la constante  de integración y puedo tomar cualquier valor numérico real. Si f(x) es primitiva de f(x) entonces:  $$\int f(x)\, dx= f(x) +K$$ Para comprobar que la primitiva de una función  es correcta se debe derivar. Propiedades de la integral indefinida: La integral de una suma  de funciones es igual a la suma de integrales es dichas funciones. $$\int \left [ f(x)+g(x) \right ]dx= \int f(x)+ \int g(x)dx$$ La integral de un producto de una "constante" por un función es igual  a la "constante" por la integral  de la función. $$\int k f(x)dx= k \int f(x)dx$$ Ejemplo 1:  Tenemos la siguiente integral indefinida: $$∫(2x^

Cuando tenemos en cuenta que una raíz no es exacta, se debe calcular por medio de un método llamado  "Diferenciales" , para ello vamos a tener en cuenta la siguiente fórmula: $$f(x\pmΔx)=f(x)\pm f′(x)dx$$ Para calcular el valor de una raíz por diferenciales tenemos 4 paso, son:  Encontrar una función aproximada. Encontrar $$xy∆x$$  Calcular $$f'(x)$$  Calcular aproximadamente el valor buscado. Ejemplo: Encontrar una función aproximada. $$f(x)=\sqrt{x}$$ $$\sqrt{26}$$ Debemos tomar en cuenta nuestra raíz, buscando una raíz cuadrada perfecta anterior y posterior al numero que deseamos calcular. Tenemos: $$\sqrt{25}=5$$ Encontrar $$xy∆x$$ representamos :  $$\sqrt{25}$$ como: $$\sqrt{25+1}$$ entonces sera $$xy∆x$$ Calcular la derivada de:       $$f'(x)$$    $$f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}$$ La derivada de f'(25) es:  $$f'(25)=\dfrac1{2\sqrt{25}}=\dfrac1{{2}({5})}=\frac{1}{10}$$ obteniendo todas las incó